Nuevas métricas del riesgo y sus aplicaciones en portfolios de sistemas (Parte 2) por Andrés García

• El control del riesgo es uno de los aspectos fundamentales en toda operativa. Más allá de las simples señales de entrada y salida tenemos un universo de opciones que podrán determinar la mejora o fracaso estrepitoso de un sistema con esperanza matemática positiva. Con este segundo artículo completaremos la serie dedicada al estudio de nuevas métricas del riesgo. Lea el primer artículo de esta serie.
• Artículo publicado en Hispatrading 19.

2.- EL VALOR EN RIESGO CONDICIONAL (CVaR)

Puede definirse como la media de las observaciones en la cola de la distribución; es decir por debajo del VaR al nivel de confianza especificado. Este es el motivo de que el CVaR se conozca también como ES (Expected Shortfall), AVaR (Average Value at Risk) o ETL (Expected Tail Loss).  

El cálculo del CVaR es algo más complejo y no  existe una metodología única: Puede ser calculado como la media aritmética de los VaR con niveles de significación igual o mayor que el inicial (Heras, 2010), se pueden utilizar medias ponderadas (Acerbi, 2002) o se puede utilizar el promedio entre el VaR y el CVaR⁺ (Rockafellar y Ursayev, 2000).

De manera más formal (Sarykalin y Ursayev, 2008) el estimador se define como:

CVaR_α =

 Donde:

0 con z < VaR_α(x)

=  

((z)-α) / (1-α) con z ≥ VaR_α (x)

Gráficamente podemos representar el CVaR del siguiente modo:

El CVaR tiene mejores propiedades matemáticas que el VaR. Es una medida coherente del riesgo (Wang et al, 1997) que cumple los criterios de:

– Monotonicidad: Si un activo tiene mejor rendimiento que otro en cualquier horizonte temporal su riesgo también es menor.

– Homogeneidad positiva: Proporcionalidad entre tamaño de la posición y riesgo.

–  Invariancia a translaciones:   Al añadir capital a una posición su riesgo disminuye en proporción directa al capital añadido.

– Subaditividad: La diversificación en activos disminuye el riesgo de la posición global. Esta última propiedad es importante y está relacionada con la optimización de carteras: Siempre se puede encontrar balanceando el portfolio una proporción óptima de activos que minimice el riesgo.  

Otras dos ventajas del CVaR (Pflug, 2000) son la continuidad con respecto al nivel de confianza y la convexividad con respecto a la posición en el portfolio, lo que permite resolver una enorme variedad de problemas de optimización.

Para El cálculo del CVaR por Montecarlo seguimos los mismos pasos que con el VaR, pero con la salvedad de que el número de escenarios simulados debe ser mucho mayor. Con un nivel de confianza del 99% y 100 simulaciones solo encontramos un elemento por debajo del VaR. A partir de 1.000 simulaciones ya se puede estimar el CVaR de manera muy precisa.

3.- DRAWDOWN EN RIESGO CONDICIONAL (CDaR)

Esta nueva métrica, introducida por Chekhlov, Uryasev y Zabarankin (2000), no es más que un CVaR aplicado a la distribución de drawdowns (DD) de la cartera. En determinados procesos de optimización y gestión monetaria el máximo DD se considera una medida demasiado conservadora del riesgo y el DD medio demasiado laxa. El CDaR se presenta como respuesta a este problema, y se define como el DD medio en la cola de la distribución para un nivel de confianza dado. 

En el caso de los portfolios de sistemas puede ser calculado por simulación de Montecarlo en la forma que ya hemos visto. El DD de Montecarlo y el VaR aplicado a la distribución de DDs. son lo mismo. El CDaR conserva las ventajas matemáticas ya mencionadas y permite analizar con mayor precisión los riesgos en las colas. Con todo, es una métrica que tiene las mismas ventajas y propiedades favorables que el CVaR. En la imagen inferior podemos ver los resultados de una simulación de Montecarlo aplicada al DD.

4.- TOMA DE DECISIONES EN CARTERAS SISTEMÁTICAS CON EL CVaR 

Uno de los usos más interesantes del CVaR es que nos permite obtener información estática y dinámica del portfolio que estamos analizando. Supongamos que queremos saber si un sistema o cartera sigue funcionando según lo previsto. Para ello podemos utilizar:

– Medidas estáticas del riesgo basadas en el DD: 

Por ejemplo, detener la operativa cuando el DD real excede el DD de Montecarlo del modelo (serie out-sample) a un determinado nivel de confianza.

– Medidas estadísticas: 

Estas medidas se basan en la forma de la distribución. Analizamos las series real y modelo, utilizando estadísticos como el T-Test o la prueba de Chi, para determinar si ambas series pertenecen a la misma población o si, por el contario, son distintas.

– Medidas estáticas del VaR y CVaR:

Estas métricas nos indican el rendimiento que debería tener el sistema o portfolio en un horizonte temporal y para un determinado nivel de confianza. Nuevamente comparamos los datos obtenidos en la simulación de Montecarlo de  la serie out-sample con los datos de la serie real. En la imagen inferior mostramos el VaR y CVaR de un portfolio sistemático calculados a un año. La cartera ha sido diseñada para un beneficio medio de 60.000€ anuales:

Una vez realizada la simulación de Montecarlo con las estadísticas de  la serie Out-sample comprobamos que no hay curvas perdedoras para el horizonte establecido y calculamos, a partir de la distribución del retorno, el VaR y CVaR para diferentes niveles de confianza (eje X). Si analizamos esta imagen con las últimas recomendaciones de Basilea sobre estos estimadores (BCBS, 2014), VaR al 99% y CVaR al 97,5%,  los resultados serían 16.200 para el VaR y 14.100 para el CVaR. En este caso las proyecciones anuales para los peores escenarios no tienen rentabilidad negativa. Sin embrago, son un 73% y un 77% peores que el beneficio medio anual previsto en el modelo.

– Medidas dinámicas del riesgo y curvas de mínimo rendimiento (CMR).

Con el VaR y el CVaR no solo podemos acotar escenarios estáticos de riesgo, también nos permiten responder a la siguiente pregunta: De cumplirse las peores previsiones, ¿cuánto debería estar ganando (o perdiendo) el portfolio  en cualquier intervalo del marco temporal evaluado? La respuesta está en las CMR para distintos niveles de confianza del estimador empleado.

Estas curvas se trazan partiendo de una simulación de Montecarlo del retorno de la cartera o sistema y requieren simular en cada intervalo t (ej. días) un número elevado de escenarios hipotéticos. Se obtiene la distribución de retornos de cada corte temporal a evaluar y se calculan el VaR y el CVaR para los niveles de confianza deseados. El resultado lo podemos ver en la imagen inferior:

Con este tipo de gráficos ya estamos preparados para responder a las preguntas de qué debería estar haciendo nuestro portfolio y si este evoluciona según lo previsto. También nos permiten establecer el breakeven  de la cartera; es decir, el punto de equilibrio a partir del cual los escenarios de riesgo convergen hacia soluciones positivas. En este caso podemos ver que en los peores escenarios existe riesgo de retornos negativos los primeros 120 días. Con duraciones mayores de la inversión ya no deberíamos estar perdiendo dinero.

Como gestores nos interesa monitorizar la evolución de la cartera para asegurarnos de que la operativa real está dentro de los parámetros prescritos por el modelo. Para ello podemos diseñar un protocolo basado en las curvas de mínimo rendimiento. 

Seguimos estos pasos:

1) Partiendo del modelo (serie out-sample) simulamos por Montecarlo una matriz de 252 días (año laboral) x 1.000 escenarios hipotéticos. 

2) Establecemos como estimadores del peor escenario el CVaR al 95% y al 99%

3) Calculamos sendos estimadores en ventanas acumulativas de 10 días.

4) Construimos la tabla del rendimiento mínimo esperado que contendrá los valores del CVAR_95%, CVaR_99%  y beneficio acumulado del portfolio real para cada corte temporal especificado. 

5) Comparamos en cada corte temporal el rendimiento mínimo esperado (RME) según el modelo con el valor real del portfolio. 

6) Valores inferiores al CVaR_95% serán nuestra primera señal de alarma. La capacidad de generar beneficios del portfolio se aleja peligrosamente de la prevista en el modelo.

7) Valores inferiores al CVaR_99% serán la señal de rechazo: El portfolio se ha salido de los límites, ya no es capaz de ofrecer la rentabilidad mínima esperada.

La señal del rechazo implicará para el gestor bien que la cartera se ha roto bien que el modelo de partida era erróneo. En una cartera muy diversificada en estrategias y mercados, antes de llegar a esta situación de ruptura del portfolio los sistemas individuales irían dando sucesivas señales de alarma. Y ahí es donde la gestión activa de la operativa (protocolos de monitorización, parada y reemplazo de estrategias) tendría que demostrar su eficacia. En la mayoría de los casos, un portfolio no se rompe por cuestiones meramente coyunturales, como las condiciones del mercado o el mal funcionamiento de algunas estrategias, sino por una gestión ineficiente de la operativa. 

Por último, y desde el inversor, las curvas de rendimiento mínimo son una herramienta útil en la toma de decisiones ya que le permiten responder con mayor objetividad numerosas preguntas relativas al riesgo, beneficio esperado, mantenimiento de la inversión y salida, cuando aguantar la posición en cualquier producto financiero empieza a ser un mal negocio.

5.- REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

― Acebi, C. (2002) Spectral Measures of Risk: A Coherent Representation of Subjective Risk Aversion, Journal of Banking and Finance (26), 1505-1518.

― Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J. y Heath, D. (1999); Coherent Measures of Risk. Mathematical Finance, (9)-3, 203-228.

― BCBS. Comité de Basilea (2014) Fundamental Review of the Trading Book: A Revised Market Risk Framework.

― Heras Martínez, A.J. (2010) Medidas del Riesgo y sus aplicaciones actuariales y financieras, Economía Española y Protección social (2) 69-103.

― Jorion, P. (1996); Valor en Riesgo: El Nuevo Paradigma para el Control de Riesgos con Derivados. Universidad de California, Irvine. McGraw-Hill.

― JP Morgan-Reuters (1996) RiskMetricsTM—Technical Document (1996). En la actualidad para todo lo referente a Riskmetrics:  http://www.msci.com/

― Kupiec, P. (1995); Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Management Models. Journal of Derivatives (3) 73-84.

― Letmark, M. (2010) Robustness of Conditional Value at Risk (CVaR) When Measuring Markets Risk across different assets clases, Royal institute of Technology (En Internent: http://www.math.kth.se/matstat/seminarier/reports/M-exjobb10/100308a.pdf)

― Markowitz, H. (1952) Portfolio Selection, Journal of Finance (7), 77-91.

― Pflug, G.C. (2000) Some remarks on the value-at-risk and the conditional value-at-risk. (en S. P. Uryasev,ed. Probabilistic Constrainted Optimization: Methodology and Applications) Kluwer, Norwell, 278–287.

― Rockafellar, R.T., Uryasev, S. (2001); Conditional Value at Risk for General Loss Distributions. Journal of Banking and Finance (26) 1443-1471.

―Sarykalin S. et. al. (2008) Value-at-Risk vs. Conditional Value-at-Risk in Risk Management and Optimization, Tutorials in Operations Research, 270-293.

― Sharpe, W. (1964) Capial Asset Prices: Atheory of Market Equilibrium under Conditions of Risk, Journal of Finance (19)-3, 425-442.

― Taleb, N. (2007) El cisne negro. El impacto de lo altamente improbable, Paidós, Barcelona.

– Wang, S. Young, V. y Panjer, H. (1997) Axiomatic Characterization of insurance Prices, Insurance: Mathematics and Economics (21)-2, 173-183.