- En el anterior artículo definimos que es y para qué sirve el Money Management: es la disciplina que se encarga de decidir cuántas acciones, futuros o unidades de otro producto análogo compraremos o venderemos al abrir una posición.
- También EXPLICAMOS por qué es importante el Money Management e introdujimos LAS DOS FAMILIAS de estrategias de posicionamiento que existen.
- Artículo publicado en Hispatrading Magazine.
Dos grandes familias
Dependiendo de la forma en que aumentamos o disminuimos el tamaño de la apuesta o inversión, podemos clasificar a las estrategias de money management (MM) en dos grandes familias: martingale y anti-martingale.
Las martingale se utilizan habitualmente en estrategias con esperanza matemática negativa, donde tenemos que vencer la ventaja que tiene nuestro contrincante o banca. Por ejemplo, en los juegos de azar. Grandes negocios para el emisor del juego, que es quien tiene la esperanza matemática positiva.
Las estrategias de posicionamiento anti-martingale actúan de manera totalmente contraria y son las recomendadas si nuestra estrategia tiene esperanza matemática positiva. Estas aumentan las posiciones mientras nuestra cuenta crece. Por el contrario, las reduce mientras decrece o, lo que es lo mismo, entramos en draw down (en adelante DD).
La Esperanza Matemática
Definamos esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta. Matemáticamente, la podemos definir como la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor esperado de dicho suceso:
En términos monetarios podemos decir que la esperanza matemática es el valor esperado de ganar, menos el valor esperado de perder, es decir, la suma de lo que esperamos ganar en nuestras operaciones positivas menos la suma de lo que esperamos perder en nuestras operaciones negativas.
“Toda vez que sabemos que la gestión monetaria es simplemente un juego de números y que lo único que necesitamos es un sistema con esperanza matemática positiva, el trader puede parar en su búsqueda del Santo Grial.” Ryan Jones
Pongamos un ejemplo con la ruleta americana. Intuimos que esta tiene esperanza negativa para nosotros y positiva para el casino, pero veámoslo matemáticamente. Las reglas de este juego son:
Apostamos 1 euro a un número cualquiera entre los 38 disponibles, que tienen una probabilidad equiprobable, con lo que nuestras probabilidades de acertar son 1/38 o el 2,63%.
Dado que la banca paga 35 veces lo apostado, la esperanza matemática de este juego es:
Una esperanza matemática de -0,0526€, con lo que obtendríamos un retorno medio por cada euro jugado de 0,9474€. Así, la esperanza de este juego es perder unos 5 céntimos por euro jugado, un -5,26% lo apostado, que es de hecho el margen del casino. Obviamente, el casino siempre ganará a largo plazo, mientras que nosotros siempre perderemos a largo plazo. La ley de los grandes números se encargará de ello.
Si apostamos rojo/negro o par/impar en vez de un sencillo, la probabilidad de acertar es de 18/38 (47,37%) y se paga 1 a 1. El cero y el doble cero son las casillas que ponen la probabilidad a favor del casino. La esperanza de este juego es:
Jugando rojo o negro tenemos exactamente la misma esperanza matemática que jugando a un número en la ruleta americana, -5,26%. De hecho, si somos ortodoxos, algunos casinos aplican una regla llamada “al rendirse” al caer en cero o doble cero. Así se hace que se pierda la mitad si se ha jugado apuesta exterior, lo que implicaría tener esperanza de -2,63%, la mitad. De esta forma, podríamos jugar más tiempo hasta la ruina. También jugaríamos más tiempo si buscamos ruletas europeas en vez de americanas, menos favorables a los casinos al tener 37 casillas en vez de 38.
Por lo tanto, la ruleta es un juego matemáticamente perdedor, podemos jugar por diversión, pero en el largo plazo nosotros perderemos y el casino ganará. Siempre y cuando las probabilidades se mantengan.
El caso de los Pelayo
Los Pelayo se hicieron populares por batir a numerosos casinos. Hay libros e incluso una película que explica su historia. Su método utilizaba las imperfecciones que tenían algunas ruletas, las cuales provocaban que ciertos números aparecieran con mayor frecuencia de la esperada. La probabilidad de acertar esos números, que aparecían con mayor frecuencia, ya no es de 1 entre 38 y la esperanza matemática tampoco es de -0,0526€ por euro jugado. La probabilidad se colocaba a favor del jugador. Lógicamente, los casinos tienen reservado el derecho de admisión y no tardaron en prohibirles el acceso. Un casino es un negocio y no se puede permitir que un jugador gane recurrentemente.
“Hay personas que piensan que están haciendo Money Management mediante la gestión de sus stop loss. Controlar el riesgo mediante stop loss es diferente a controlar el riesgo mediante una estrategia de gestión monetaria que controla el tamaño de la posición en cada momento” Van K. Tharp
Los casinos no son los únicos juegos de azar con esperanza matemática negativa: Lotería de Navidad, Euro millón y muchos otros son todos matemáticamente perdedores.
Veamos ahora el efecto de aplicar money management a esta estrategia.
Martingale
Las martingale se suelen utilizar en estrategias con esperanza matemática negativa, donde tenemos que vencer la ventaja que tiene nuestro contrincante o banca, como en los juegos de la ruleta. Las estrategias martingale se utilizan habitualmente en juegos binomiales (jugar rojo o negro en la ruleta, por ejemplo) donde la probabilidad de aciertos ronda el 50% o es superior. Teóricamente se pueden utilizar en cualquier juego como, por ejemplo, el single de la ruleta. Tiene una probabilidad de aciertos del 2,63% (1/38), pero en la práctica es insostenible, ya que las limitaciones martingale se hacen todavía más extremas; las rachas de pérdidas serían sencillamente monstruosas, ya que tardaríamos demasiado tiempo en acertar y recuperar.
La martingale más utilizada consiste en doblar la apuesta cada vez que perdemos hasta que acertemos, volviendo entonces a reiniciar el juego con la apuesta inicial. Aunque hay otras estrategias y variantes sobre ésta, ninguna resuelve totalmente sus problemas.
Ejemplo martingale
Juguemos a la ruleta, rojo o negro:
- Como somos novatos en esto de los casinos, llegamos a la ruleta con 50€ en fichas y empezamos el juego con una apuesta inicial de 1€:
- Apostamos 1€ a rojo o negro: Perdemos.
- Doblamos la apuesta, apostamos 2€: También perdemos.
- Volvemos a doblar la apuesta, 4€: Perdemos…
- La siguiente apuesta serían 8€: De nuevo, perdemos.
- En la siguiente apuesta, la 5ª, apostamos 16€: Por fin, ¡ganamos!
Este es el importe que hemos apostado en la jugada 4ª:
- -1€ -2€ -4€ -8€ = -15€
En la 5ª jugada apostamos 16€, con que lo apostado asciende a 31€ en este momento. En esta jugada ganamos, así que, dado que se cobra 2 a 1, cobramos 32€. Por lo tanto:
- 32€ -31€ = 1€ de beneficio.
En la tabla 1 se puede ver el desarrollo del juego.
Si nos fijamos en la tabla 1, vemos que hemos hecho cinco tiradas y hemos ganado 1€, la apuesta inicia. Acertemos cuando acertemos, sea en la primera tirada o en la décima, siempre ganaremos la apuesta inicial.
Tal y como hemos visto, la esperanza matemática de este juego es del -5,26%. Es cierto que en la tabla 1 vemos que la estrategia de posicionamiento convierte al juego en teórica y matemáticamente ganador si, y solo si, somos capaces de doblar la apuesta indefinidamente, algo que, lógicamente, no es posible. En primer lugar, porque no disponemos de capital infinito (maldita realidad) y en segundo porque los casinos tienen apuesta máxima, aunque, de hecho, sin apuesta máxima tampoco sería posible disponer de capital infinito.
En la tabla 2 podemos ver el mismo ejemplo, pero empezando con 25€ en vez de con 50€.
Si empezamos el juego con 25€, en la jugada 4ª ya no tenemos capital para doblar la apuesta. Lo máximo que podríamos apostar serían 10€, quedándonos a cero. Si en este quinto juego ganáramos, ganaríamos 20€, el doble, con lo que el beneficio final sería -5€ en vez de -15€, como refleja la tabla 2.
En cualquier caso, pérdidas. Si jugamos durante el suficiente tiempo, la ley de los grandes números hará que en algún momento tengamos una racha de pérdidas insostenible, por improbable que ésta sea.
Supongamos que acumulamos 10 fallos consecutivos. En la jugada número 11, aun habiendo iniciado el juego con una apuesta inicial de solo 1€, tendremos que apostar 1.024€. Si en esta apuesta también perdemos, en la siguiente deberemos apostar 2.048€. No está mal teniendo en cuenta que hemos iniciado el juego con una modesta apuesta de 1€. Nótese que con cada apuesta doblamos el riesgo mientras que mantenemos la expectativa de rentabilidad constante, la apuesta inicial, 1€. Al acabar la partida número 10 y fallar de nuevo hemos perdido 1.023€ entre todas las apuestas. Si disponemos de capital suficiente, tenemos que apostar 1.024€ adicionales en el juego número 11 para intentar recuperar lo perdido y obtener 1€ de beneficio.
Si hemos empezado a jugar con una cuenta de, por ejemplo, 2.500€, todavía podríamos iniciar la jugada 11ª. No obstante, cualquier sistema de trading tiene tres partes, el Method, el Money y el Mind, las tres emes de Elder. Hemos hablado del Method y el Money porque son cuantificables, pero ¿qué hay del Mind? ¿Creéis que si empezáis a jugar con 1€, cuando falléis 10 juegos consecutivos estaréis tan tranquilos y seguiréis jugando con el método? Probablemente antes ya habrán aparecido varios fantasmas, creeremos que han manipulado la ruleta o que alguien nos ha gafado o cualquier otra chorrada que pase por nuestra mente fruto de la enorme presión a la que nos somete el cuello de la camisa que parecerá que de pronto ha perdido dos tallas. Además de que no podremos doblar siempre, ya que el dinero no es infinito, la presión psicológica resultaría insoportable. Este es el verdadero problema de la martingale. En el momento que llegue una mala racha en la que no podamos doblar, perderemos todo lo ganado y más.
Supongamos que nuestra cuenta era de 1.000€, por lo que tras 10 fallos consecutivos no podemos doblar. Nos arruinamos. En este punto hemos perdido 1.023€, que es la suma de lo apostado en las 10 tiradas. Si volvemos a jugar otro día manteniendo la apuesta inicial de 1€, deberemos ganar 1.023 juegos para recuperarnos sin arruinarnos en ninguna de ellas.
La martingale tiene un insostenible ratio rentabilidad/riesgo
Que una racha de 10 fallos consecutivos que nos agote el capital equivalga a 1.023 aciertos implica, a efectos prácticos, que la martingale no acepta ni un solo error. Un solo día que se nos agote el capital y la recuperación será casi imposible. Un ratio rentabilidad/riesgo así pone en aprietos hasta a la mente más fría. La presión psicológica que debe soportarse con la martingale es sencillamente inaguantable. Hay que doblar cada vez el riesgo tras haber perdido. Tan solo para recuperar lo perdido y ganar la apuesta inicial. Se puede defender que es muy difícil fallar 10 veces seguidas y es cierto, pero el problema de la martingale es su insostenible relación rentabilidad/riesgo.
La probabilidad de sacar n fallos consecutivos es pn
- Siendo p la probabilidad de fallar o la probabilidad de aciertos del casino.
- Siendo n las jugadas consecutivas.
Es importante dejar claro que cada tirada tiene la misma probabilidad de acierto o fallo que la anterior, ya que son sucesos independientes. No obstante, antes de empezar un juego sí es posible calcular la probabilidad de sacar n fallos consecutivos, aunque cada nueva tirada tendrá el mismo porcentaje de acierto o fallo en el momento de realizarla.
En el ejemplo rojo/negro, la probabilidad de fallar 10 veces seguidas es de 0,5010 = 0,0977%. Dicho de otro modo, antes de empezar a jugar la probabilidad de acertar si jugamos 10 partidas consecutivas es del 99,9023% (1-pn), un porcentaje de aciertos impresionante.
Ciertamente, la probabilidad de perder durante 10 jugadas consecutivas es muy remota, es lo que Nassim Nicholas Taleb llamó un “Cisne Negro”: un suceso altamente improbable, pero de muy elevado impacto. Pero que sea muy improbable no quiere decir que haya que ignorarlo si uno quiere operar profesionalmente. Refiriéndonos al casino, si simplemente vamos a pasar el rato puede ser un método válido como cualquier otro de divertirse. No obstante, en el terreno de los mercados financieros, no tener en cuenta la posibilidad de que los “Cisnes Negros” aparezcan es el causante de muchas crisis, mundiales y personales.
Volviendo a nuestro juego, el desequilibrio entre rentabilidad y riesgo hace que cuando llegue la serie fatídica, ésta sea definitiva. En el ejemplo hemos escogido como apuesta inicial 1€ y una serie de fallos consecutivos de 10, pero si modificamos estas dos variables lo único que conseguiremos es alterar la duración del juego, al alza o a la baja, pero siempre con el mismo final: la ruina.
La martingale siempre acaba igual
Se puede ganar uno, diez o treinta días, pero en el largo plazo la ley de los grandes números garantiza que, con este juego, tarde o temprano perderemos nuestro dinero. En los juegos donde el riesgo es muy superior al beneficio potencial y la probabilidad de ruina es baja, a medida que se juega más se favorece la ruina. Jugando unas pocas series por diversión es relativamente fácil ir ganando algunas partidas, ya que es muy poco probable sufrir una racha de pérdidas definitiva si la apuesta inicial es muy baja con relación a nuestro capital. Pero si pretendemos hacer un negocio de ello y aumentamos la frecuencia de juego, ocurrirá lo inevitable. Un día aparecerá la racha fatídica que nos hará perder todo lo ganado y más. La economía y la vida están plagadas de “Cisnes Negros”: la quiebra de Lehman Brothers, el 11S, el descubrimiento de la penicilina… Para un gestor o trader, ignorarlos a priori es una irresponsabilidad manifiesta. Lamentarse de la mala fortuna a posteriori es sencillamente una excusa que un profesional no se puede permitir.
En definitiva, variar la apuesta inicial o mejorar el algoritmo martingale básico con n-duplicar, triplicar, empezar a duplicar tras n fallos consecutivos, reducir el incremento de las apuestas a medida que aumentan las pérdidas o incluso aplicar estrategias MM anti-martingale solo alargará el tiempo del juego. Si se juega por ocio, está bien alargar el juego, pero si se busca rentabilidad, el juego de la ruleta y muchos otros implican la ruina a largo plazo, con o sin martingale. Tan solo es cuestión de tiempo: las simulaciones te pueden hacer jugar un día o cinco años, pero al final llegará la ruina, es una certeza matemática definida por la esperanza matemática. El MM no puede convertir una estrategia perdedora en ganadora.
Conclusión
He usado un juego de azar como ejemplo para los algoritmos de money management porque los casinos son el origen de la martingale y, de hecho, se sigue recomendando actualmente. No obstante, si reflexionamos un poco veremos que todos hemos utilizado en alguna ocasión estrategias monetarias que recuerdan a la martingale. Por ejemplo, doblar una posición perdedora para rebajar el precio medio de compra podría entrar en esta categoría. En general, las estrategias martingale no son recomendables para el trading. Por eso, entre otras cosas, no debemos aumentar posiciones cuando fallamos y sí cuando acertamos.
En posteriores artículos nos adentraremos en los algoritmos de money management del tipo anti-martingale, que son los recomendados para las estrategias con esperanza matemática positiva.