Sistema basado en el modelo de Markowitz por Quantpedia

• Presentamos un breve artículo como una idea de la metodología usada en nuestro informe Quantpedia Pro. En esta ocasión en relación a la optimización de la cartera de Markowitz.  El informe actual ayuda con el cálculo de las carteras de frontera eficientes en función de las diversas limitaciones y durante varios períodos históricos predefinidos. Las pruebas retrospectivas de las carteras de varianza mínima, índice Sharpe máximo y tangencia reequilibradas periódicamente estarán disponibles a principios de julio.

El modelo Markowitz fue introducido en 1952 por Harry Markowitz. También se conoce como modelo de varianza media y es un modelo de optimización de cartera: tiene como objetivo crear la cartera más eficiente en relación con el riesgo mediante el análisis de varias combinaciones de cartera basadas en los rendimientos esperados (media) y las desviaciones estándar (varianza) de activos.

Originalmente Markowitz asumió varias suposiciones como ciertas. Las principales son las siguientes: i) el riesgo de la cartera se basa en la volatilidad (y covarianza) de los rendimientos, ii) el análisis se basa en un modelo de inversión de período único, y iii) un inversor es racional, reacio al riesgo y prefiere aumentar el consumo. Por tanto, la función de utilidad es cóncava y creciente. Además, iv) un inversor minimiza su riesgo para un rendimiento determinado o maximiza el rendimiento de su cartera para un nivel de riesgo determinado.

Cuando un inversor busca la mejor cartera en términos de rentabilidad y riesgo entre la variedad de carteras posibles, se deben realizar dos pasos. El primero es determinar el conjunto de carteras eficientes. La segunda es seleccionar la cartera final específica del conjunto eficiente, dado el rendimiento objetivo del inversor, el riesgo objetivo o la preferencia hacia una relación óptima entre rendimiento y riesgo.

Uno podría preguntarse cómo seleccionar una cartera óptima. Básicamente, de las carteras con el mismo rendimiento, elegimos la que tiene el menor riesgo. Por otro lado, de carteras con el mismo nivel de riesgo, elegimos la que tiene la tasa de retorno más alta.

Las carteras eficientes

La Frontera Eficiente es una hipérbola que representa carteras con todas las diferentes combinaciones de activos que dan como resultado carteras eficientes (es decir, con el menor riesgo, dada la misma rentabilidad y las carteras con la mayor rentabilidad, dado el mismo riesgo). El riesgo se representa en el eje X y el retorno en el eje Y. El área dentro de la frontera eficiente (pero no directamente en la frontera) representa activos individuales o todas sus combinaciones no óptimas.

La cartera de tangencia, el punto rojo en la imagen de arriba, es la denominada cartera óptima que logra la relación de Sharpe más alta posible. A medida que nos movemos desde este punto hacia la derecha o hacia la izquierda en la frontera, la relación de Sharpe, o en otras palabras, el exceso de retorno al riesgo, será menor.

El punto donde la hipérbola cambia de convexa a cóncava es donde se encuentra la cartera de varianza mínima (punto verde en la imagen).

Para un nivel dado de volatilidad, también existe la denominada cartera de máxima rentabilidad (punto naranja en la imagen), que, como su nombre indica, maximiza la rentabilidad dado el nivel de volatilidad.

Introduzcamos ahora la línea lineal del mercado de capitales (CML). El punto donde la CML se encuentra con el eje Y es donde el activo libre de riesgo de un inversor, como los valores gubernamentales, se encuentra en términos de rendimiento. Esta línea es tangente a la frontera eficiente exactamente en el punto de la cartera de Máximo Sharpe. La línea CML (tangencia) representa una cartera de diferentes combinaciones de un activo libre de riesgo y una cartera de tangencia (también denominada cartera máxima de Sharpe o, a veces, “cartera óptima”).

Cálculo

Cuando se trata de matemáticas, una frontera eficiente se puede calcular explícitamente, es decir, analíticamente, solo en el caso más simple de que solo una restricción sea la suma de las ponderaciones de los activos igual a uno. Una vez que comience a imponer más restricciones sobre los pesos de los activos, se debe utilizar un procedimiento de optimización para el cálculo de la frontera y esta puede desviarse de la hipérbola original a diferentes curvas, dadas las nuevas restricciones. Puede haber casos especiales en los que la solución sea explícita, pero generalmente no lo es.

Una de las formas más sencillas de calcular la frontera eficiente bajo restricciones es utilizando el algoritmo de línea crítica de Markowitz (CLA). A diferencia de algunos optimizadores cuadráticas, este método funciona bien, incluso si el número de activos N es mucho mayor que el número de observaciones T. La idea principal de CLA se basa en unos sencillos pasos. En primer lugar, comienza con el activo con el mayor rendimiento, en la parte superior derecha de Efficient Frontier. Luego, sigue la Frontera Eficiente hacia la izquierda buscando el siguiente mejor activo para agregar o eliminar uno por uno.

Numerosas líneas curvas (líneas críticas), formadas conectando los “puntos de esquina”, ahora forman la Frontera Eficiente. Las carteras de una línea crítica, incluidos los puntos de esquina, contienen los mismos pares de activos. Lo único que cambia son los pesos. El conjunto de todas las líneas críticas y los puntos de las esquinas forman la Frontera eficiente, comenzando en el punto superior derecho hasta la solución de Varianza mínima en el extremo izquierdo. Suponiendo que el número de activos, n ( n <= N ), en la cartera óptima en un segmento de línea crítico es menor que el número de observaciones T (por lo tanto, n <T ), existe una solución única para CLA.

Modelo de Markowitz en la práctica

Decidimos investigar el modelo de Markowitz también en la práctica. Elegimos cuatro ETF que sirven como bloques de construcción para nuestras carteras: SPY (acciones de EE. UU.), EFA (acciones de EAFE), GLD (oro) e IEF (bonos de EE. UU. 7-10 años).

Frontera eficiente sin limitaciones

En primer lugar, trazamos un ejemplo de línea de base de la frontera eficiente sin restricciones en las ponderaciones de los activos y varias carteras asociadas con la teoría de cartera de Markowitz. Obviamente, en todos los ejemplos siempre hay una restricción de las ponderaciones que suman 1. Se elige un período de cálculo de 1 año desde el 8.1.2019 hasta el 8.1.2020 para demostrar este ejemplo. Usamos el paquete fPortfolio en R para calcular la frontera eficiente. Adicionalmente, calculamos los pesos de la cartera de Varianza Mínima, la cartera de Tangencia y la cartera de Retorno Máximo con un determinado nivel de volatilidad (fijado en 6% anual), así como el riesgo y retorno de estas carteras. La siguiente figura también muestra las carteras 100% SPY, 100% EFA, 100% GLD y 100% IEF.

Como siempre, el eje x muestra los valores anualizados de volatilidad y el eje y muestra los valores anualizados de rendimiento. Podemos observar varios fenómenos interesantes. En primer lugar, todos los activos de riesgo se encuentran en la parte extrema derecha del gráfico, debido a su alta volatilidad. En segundo lugar, la parte mostrada de la frontera eficiente, así como las tres carteras mostradas, muestran una volatilidad mucho menor que los activos de riesgo. Esto se debe a la propiedad “sin restricciones” de la frontera, es decir, la capacidad de “ir en corto”, es decir, utilizar ponderaciones negativas para los activos de riesgo.

Echemos ahora un vistazo a las ponderaciones de los ETF que forman las carteras en la frontera eficiente. El siguiente gráfico muestra diferentes ponderaciones de activos de estas carteras en pasos discretos, comenzando desde el punto más al sur de la frontera y terminando en el más al norte. Podemos observar que, por ejemplo, la cartera de variación mínima se compone principalmente del ETF de renta fija, mientras que la parte “norte” de la frontera se compone principalmente de activos de riesgo.

Frontera eficiente en diferentes tiempos

El segundo gráfico que analizamos muestra la evolución de la frontera eficiente en el tiempo. Elegimos tres períodos de tiempo: 3.1.2008 – 2.1.2009, 3.1.2011 – 3.1.2012 y 8.1.2019 – 8.1.2020 para demostrar los cambios en el tiempo.

Como podemos ver, la frontera eficiente varía significativamente en el tiempo. Aparentemente, la frontera menos volátil con mayor rendimiento es la más reciente (2019-2020), mientras que lo contrario es cierto para la frontera más antigua (2008-2009). La forma de la curva también varía.

Frontera eficiente con diversas limitaciones

El tercer ejemplo muestra cómo las restricciones sobre los pesos de los activos cambian la forma de la frontera eficiente. Para este ejemplo, elegimos el mismo período de tiempo que en el primer ejemplo (8.1.2019 – 8.1.2020). En el gráfico siguiente se examinan tres escenarios. La única restricción que se aplica a los tres es que la suma de los pesos es igual a uno. La primera curva es la frontera eficiente sin restricciones en los pesos. La segunda curva está vinculada por el escenario solo largo, es decir, ponderaciones no negativas. En el último escenario (tercera curva), las ponderaciones de cada activo están limitadas a ser no negativas y no superiores a 0,5.

El siguiente gráfico muestra la diferencia en las fronteras eficientes como resultado de las limitaciones de los diferentes pesos de los activos. Podemos ver que la frontera eficiente sin límite de pesos es más suave que las otras dos (y es la única hipérbola en su verdadero sentido). A medida que agregamos más y más restricciones, la frontera naturalmente se mueve más “hacia la derecha”, es decir, hacia un riesgo más alto y un rendimiento más bajo y cambia su forma alejándose de una hipérbola estándar.

Estrategias basadas en Markowitz

Por último, analizamos tres estrategias de trading basadas en el modelo de Markowitz. Probamos el rendimiento de la cartera de varianza mínima calculada periódicamente, la cartera de tangencia y la cartera de rendimiento máximo con un nivel determinado de volatilidad (10% anual) a lo largo del tiempo. Comparamos nuestros resultados con la cartera igualmente ponderada como referencia.

Aplicamos las siguientes restricciones a las ponderaciones: la ponderación de cada activo no es negativa y no es superior a 0,5. La frecuencia de reequilibrio es mensual y la ventana al pasado es de 1 año. En otras palabras, cada mes, las ponderaciones de los activos de una cartera determinada se calculan a partir del último año de datos. Por último, el rendimiento de la cartera se calcula diariamente con un retraso de implementación de 1 día para reflejar las condiciones de la vida real.

En resumen, una vez al mes calculamos la varianza mínima, la tangencia y la cartera de rendimiento máximo y repetimos el proceso con una ventana móvil de datos de 1 año para llegar a la curva de capital de estas 3 estrategias. El siguiente gráfico muestra el desempeño acumulado de cada una de las estrategias mencionadas.

Echemos ahora un vistazo a las métricas de riesgo y rentabilidad de una manera más cuantitativa:

Como era de esperar, la cartera de variación mínima tiene la volatilidad más baja. El resto de los resultados son menos obvios y pueden variar con el tiempo. Aunque la cartera de Tangencia tiene el rendimiento más alto en 14 años, la cartera de variación mínima tiene el índice Sharpe más alto. En general, todas las carteras creadas por el modelo de Markowitz se comportaron mejor que la cartera igualmente ponderada en este caso, tanto en términos de rendimiento como aún más en términos de rendimientos ajustados al riesgo. Las estrategias combinan implícitamente los efectos de impulso y baja volatilidad, que parecen beneficiarlos.

Autor:
Daniela Hanicova, analista cuantitativa, Quantpedia